Una de las cosas irritantes que uno puede encontrar al comenzar a aprender sobre el diseño de RF es el efecto de la línea de transmisión. ¡Los cables que eran simplemente interconexiones en los viejos tiempos cuando se trabajaba en una placa de baja frecuencia ahora son componentes complicados descritos por algunas ecuaciones intimidantes! Esto puede parecer una molestia al principio; sin embargo, a medida que aprenda más sobre las líneas de transmisión, eventualmente las verá como una bendición disfrazada y llegará a apreciar todas esas complicaciones. Debido a su naturaleza «distribuida», las líneas de transmisión sin pérdidas pueden proporcionar un ancho de banda infinito. Esto está en marcado contraste con nuestra intuición de los circuitos de baja frecuencia.
En este artículo, derivaremos las ecuaciones de onda para una línea de transmisión sin pérdidas y veremos su notable característica de ancho de banda infinito. Sin embargo, primero expliquemos qué entendemos por la naturaleza «distribuida» de las líneas de transmisión.
Regímenes concentrados versus distribuidos
Cuando el tamaño del circuito es comparable a la longitud de onda más corta del circuito, los cables deben tratarse como líneas de transmisión. Esto destaca un límite entre dos regímenes operativos para los componentes del circuito y las interconexiones, es decir, los regímenes «agrupados» y distribuidos. En el régimen concentrado, estamos tratando con frecuencias más bajas y se supone que las señales eléctricas viajan a través de los cables a una velocidad infinita. El término agrupado se refiere al hecho de que podemos identificar capacitores e inductores separados en alguna región específica del circuito. Por ejemplo, considere el filtro de paso de banda pasivo que se muestra en la Figura 1.
Figura 1. Diagrama de ejemplo de un filtro de paso de banda pasivo.
En la «Región A» del diagrama anterior, domina el almacenamiento de energía magnética y, por lo tanto, esta parte del circuito se comporta de manera inductiva. Por otro lado, en la «Región B», la energía eléctrica se almacena en un campo eléctrico, lo que significa que esta porción se modela como un capacitor. En este ejemplo, se pueden usar algunos capacitores, inductores, etc. agrupados para modelar el comportamiento del circuito. La teoría y el análisis de circuitos que nos enseñan en los primeros semestres de la universidad es en realidad análisis de circuitos de elementos agrupados. Con circuitos agrupados, la ley de voltaje de Kirchhoff (KVL) y la ley de corriente de Kirchhoff (KCL) se pueden aplicar fácilmente para encontrar el voltaje y las corrientes en el circuito.
Por el contrario, en un régimen distribuido, no podemos identificar capacitores e inductores separados. Por ejemplo, un cable uniforme sin pérdidas en el régimen distribuido se modela como una red de escala infinita de secciones LC (Figura 2).
Figura 2. Red de escala infinita de secciones LC.
Este modelo sugiere que cada tramo infinitamente corto de cable almacena energía en forma de campos eléctricos y magnéticos. Y el almacenamiento de energía en estas dos formas se distribuye por todo el cable. En este caso no podemos separar las partes capacitiva e inductiva del circuito; están mezclados.
Además, en el régimen distribuido, las señales eléctricas viajan como una onda a lo largo del cable, lo que significa que los voltajes y las corrientes son una función del tiempo y la posición a lo largo del cable. Como resultado, podemos decir que KVL y KCL no se sostienen a altas frecuencias.
En la siguiente sección, intentaré derivar la ecuación de la constante de fase de una manera relativamente accesible. Si no está interesado en aprender acerca de la derivación, puede omitir la siguiente sección y continuar desde la sección «Resumen de ecuaciones».
Derivación de la ecuación constante de fase
Una línea de transmisión sin pérdidas se puede caracterizar por dos parámetros importantes: la característica impedancia Z0 y la constante de fase β. La impedancia característica especifica la relación entre la onda de voltaje y la onda de corriente para una línea infinitamente larga. La constante de fase caracteriza cómo cambia la onda con la posición. Para una línea sin pérdidas, Z0 viene dada por la ecuación 1:
\[Z_0 = \sqrt{\frac{L}{C}}\]
Ecuación 1.
Para derivar una ecuación para β, necesitamos encontrar las señales de voltaje y corriente de estado estable que aparecen en el modelo de red en escalera en la Figura 3.
Figura 3. Modelo de red de escalera.
Con los parámetros de voltaje y corriente que se muestran para la primera sección de LC, la ley de voltaje de Kirchhoff produce:
\[v(x+ \Delta x, t)-v(x, t)= – L \Delta x \times \frac{d i(x, t)}{dt}\]
Dividiendo ambos lados por Δx, tenemos:
\[\frac{v(x+ \Delta x, t)-v(x, t)}{\Delta x}= – L \times \frac{d i(x, t)}{dt}\]
Si consideramos el límite de esta ecuación cuando Δx tiende a cero, la expresión de la izquierda se convierte efectivamente en la derivada de v(x, t) con respecto a x. Por lo tanto, la ecuación anterior se puede reescribir como la Ecuación 2:
\[\frac{dv(x, t)}{d x}=- L \times \frac{d i(x, t)}{dt}\]
Ecuación 2.
Para una línea infinita, la relación de voltaje a corriente en cualquier punto a lo largo de la línea es igual a Z0. De la ecuación 1, obtenemos:
\[i(x, t)=\frac{v(x,t)}{Z_0}=v(x,t)\sqrt{\frac{C}{L}}\]
Sustituyendo i(x, t) en la Ecuación 2 se obtiene la Ecuación 3:
\[\frac{dv(x, t)}{d x}=- \sqrt{LC} \times \frac{d v(x, t)}{dt}\]
Ecuación 3.
Ahora ambos lados están en términos de voltaje de línea, pero el lado izquierdo es la derivada de v(x, t) con respecto a la posición, mientras que el lado derecho incluye la derivada de la función con respecto al tiempo. Dado que queremos la respuesta de estado estacionario a una excitación sinusoidal (como en vS t
Para este análisis, podemos suponer que la entrada es el voltaje exponencial complejo Aejωt en lugar de vS t
Cuando aplicamos Aejωt al circuito, el término ejωt aparece en todas las magnitudes de voltaje y corriente. Por ejemplo, v(x, t) puede considerarse como V(x)ejωt, donde V(x) es un valor complejo llamado el fasor de v(x, t). En la teoría básica de circuitos, los fasores claramente no tienen una dependencia de la posición porque estamos tratando con circuitos agrupados. Sin embargo, en el análisis de líneas de transmisión, esperamos que el fasor sea una función de la posición. Reemplazando v(x, t) con V(x)ejωtLa ecuación 3 produce:
\[\frac{d}{d x}\Big (V(x)e^{j \omega t} \Big )=- \sqrt{LC} \times \frac{d}{dt}\Big (V(x)e^{j \omega t} \Big )\]
V(x) no es una función del tiempo, eejωt no es una función de x. Por lo tanto, usando un poco de álgebra, la ecuación anterior se simplifica a:
\[\frac{dV(x)}{d x} =- j \omega \sqrt{LC} \times V(x)\]
La solución a esta ecuación diferencial de primer orden debería ser familiar para los EE:
\[V(x) =V_0 e^{- j \omega \sqrt{LC}x}\]
donde v0 es una constante que se puede encontrar a partir de las condiciones de contorno en los puertos de entrada y salida de la línea. Del análisis fasorial, sabemos que la parte real de V(x)ejωt es el resultado que obtendríamos si aplicamos vS t
\[v(x,t)=Real \text{ } Part \text{ }of \Big (V(x)e^{j \omega t} \Big ) = V_0 cos(\omega t-\omega \sqrt{LC}x)\]
Al definir la constante de fase \(\beta = \omega \sqrt{LC}\), obtenemos:
\[v(x,t)= V_0 cos(\omega t-\beta x)\]
Ecuación 4.
Esta es la misma función de onda que usamos en el artículo anterior para discutir cómo viaja una onda de voltaje a lo largo de una línea de transmisión. Dividiendo la ecuación 4 por Z0 nos da la onda de corriente directa como la Ecuación 5:
\[i(x,t)= \frac{V_0}{Z_0} cos(\omega t-\beta x)\]
Ecuación 5.
Resumen de la ecuación de la línea de transición sin pérdidas
En la sección anterior, derivamos las ecuaciones para el voltaje directo y las ondas de corriente. En general, tanto las ondas directas como las reflejadas pueden estar presentes en la línea al mismo tiempo. Para una línea sin pérdidas, el voltaje total y las ondas de corriente toman la forma:
\[v(x,t)= A cos(\omega t-\beta x) + B cos(\omega t+\beta x)\]
\[i(x,t)=\frac{A}{Z_0} cos(\omega t-\beta x)- \frac{B}{Z_0} cos(\omega t+\beta x)\]
Donde la impedancia característica Z0 y la constante de fase β son:
\[Z_0 = \sqrt{\frac{L}{C}}\]
\[\beta = \omega \sqrt{LC}\]
Efecto distribuido de las líneas de transmisión: ¿deseado o molesto?
Debido al comportamiento ondulatorio de las señales eléctricas de alta frecuencia, los diseñadores de RF están obsesionados con hacer coincidir la impedancia de carga con la impedancia característica de la línea. Sin igualación de impedancia, no se puede transferir toda la potencia a la carga y los grandes picos de voltaje creados por las ondas estacionarias pueden dañar los componentes del circuito o las interconexiones. Sin embargo, el comportamiento distribuido de las líneas de transmisión conduce a una propiedad muy interesante.
Con base en el análisis anterior, si excitamos la línea con la sinusoidal vS t
\[v(x,t)= V_0 cos(\omega_1 t-\beta x)\]
Sustituyendo β obtenemos:
\[v(x,t)= V_0 cos(\omega_1 t- \omega_1 \sqrt{LC} x)=V_0 cos\Big(\omega_1 ( t- \sqrt{LC} x) \Big)\]
La señal que obtenemos en una ubicación dada x es la misma que la entrada, excepto que tiene un retraso de $$ x \sqrt{LC}$$. Este resultado es válido para cualquier frecuencia. La única suposición es que la línea no tiene pérdidas y actúa como una línea de transmisión. Si el retraso dependiera de la frecuencia, los diferentes componentes de frecuencia de la entrada experimentarían diferentes cantidades de retraso, lo que provocaría una distorsión de la salida. Por ejemplo, si aplicamos un pulso a un sistema que tiene un retardo dependiente de la frecuencia, la salida puede estar totalmente distorsionada porque diferentes componentes de frecuencia llegan a la salida con cambios de tiempo desiguales.
Como muestran las ecuaciones, una línea de transmisión sin pérdidas pasa todos los componentes de frecuencia con el mismo retraso. En otras palabras, la línea tiene un ancho de banda infinito. Si aumentamos L y C, el retardo aumentará, pero aún tendremos un retardo constante para todos los componentes de frecuencia. Encontrará esta característica aún más llamativa cuando la compare con nuestra visión de los circuitos agrupados de baja frecuencia, donde el aumento de los valores de los condensadores normalmente reduce el ancho de banda del sistema.
Además del retardo uniforme, también deberíamos tener una atenuación independiente de la frecuencia para tener un sistema de ancho de banda infinito. En la discusión anterior, asumimos que la línea no tiene pérdidas y, por lo tanto, la atenuación es cero para todas las frecuencias.
¿Qué pasa con una línea de transmisión con pérdidas?
En una línea de transmisión del mundo real, la pérdida puede verse afectada por muchos factores, como las pérdidas del conductor (efecto pelicular), las pérdidas dieléctricas y el efecto de histéresis. Estas pérdidas también dependen de la frecuencia. Sin embargo, incluso con una línea de transmisión con pérdidas, es posible ajustar los parámetros de la línea para tener una atenuación y un retardo de grupo uniformes (al menos en principio). Para saber más, puede consultar el libro «El diseño de circuitos integrados de radiofrecuencia CMOS» de Thomas H. Lee.
Propagación en modo de orden superior
Además de los componentes de pérdida, existe otro factor que limita el ancho de banda utilizable de una línea de transmisión. A medida que avanzamos en frecuencias cada vez más altas, la longitud de onda de la señal finalmente se vuelve comparable al tamaño de la sección transversal de la línea de transmisión. En este caso, se crean configuraciones de campos electromagnéticos diferentes a las que normalmente esperamos. Estos modos se conocen como modos de propagación de orden superior. La velocidad de propagación de los modos de orden superior difiere de la del modo dominante (o principal). Por lo tanto, normalmente intentamos operar la línea de transmisión por debajo de su primer modo de orden superior. Por ejemplo, según el tamaño de los conductores y el tipo de dieléctrico empleado, se podría especificar una línea coaxial para operar hasta aproximadamente 18 GHz para evitar la propagación de modos de orden superior.
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